Что (кто) такое Якобиан - определение

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ ЯКОБИ

Якобиан отображения; Определитель Якоби; Функциональный определитель

Якобиан

функциональный определитель ∣a_ik∣₁ⁿ с элементами

, где y_i = f_i(X₁,..., X_n), l ≤ i ≤ n, - функции, имеющие непрерывные частные производные в некоторой области А; обозначение:

Введён К. Якоби (1833, 1841). Если, например, n = 2, то система функций

y₁ = f₁ (. x₁, x₂), y₂ = f₂ (x₁, x₂) (1)

задаёт отображение области Δ, лежащей на плоскости x₁, x₂, на часть плоскости y₁, y₂. Роль Я. для этого отображения во многом аналогична роли производной для функции одной переменной. Например, абсолютное значение Я. в некоторой точке М равно коэффициенту искажения площадей в этой точке (т. е. пределу отношения площади образа окрестности точки М к площади самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю). Я. в точке М положителен, если отображение (1) не меняет ориентации в окрестности точки М, и отрицателен в противоположном случае. Если Я. не обращается в нуль в области Δ и φ (y₁, у₂) - функция, заданная в области Δ₁ (образе Δ), то

(формула замены переменных в двойном интеграле). Аналогичная формула имеет место для кратных интегралов (См. Кратный интеграл). Если Я. отображения (1) не обращается в нуль в области Д, то существует обратное отображение

x₁ = φ₁ (y₁, y₂), x₁ = φ₂(y₁, y₂),

причём

(аналог формулы дифференцирования обратной функции). Это утверждение находит многочисленные применения в теории неявных функций (См. Неявные функции). Для возможности явного выражения в окрестности точки М (x₁⁽⁰⁾,..., x_n⁽⁰, y₁⁽⁰⁾,..., y_m⁽⁰⁾) функций y₁,..., у_т, неявно заданных уравнениями F_k (x₁,..., x_n, y₁,..., у_м) = 0, (2)

1 ≤ k ≤ m,

достаточно, чтобы координаты точки М удовлетворяли уравнениям (2), функции Fk имели непрерывные частные производные и Я.

был отличен от нуля в точке М.

Лит.: Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 2, М., 1973; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.

Функциональный определитель

определитель, элементами которого являются функции одного или многих переменных. Наиболее важные примеры Ф. о. - Вронскиан, играющий важную роль в теории линейных дифференциальных уравнений высшего порядка, гессиан, применяемый в теории алгебраических кривых, и Якобиан, используемый при преобразовании кратных интегралов, установлении независимости системы функций и др. вопросах теории функций многих переменных. Производная Ф. о. D (x) = |a_ik(x)| n-го порядка равна сумме n Ф. о., матрицы которых получаются из матрицы ||a_ik(x)|| соответственно дифференцированием элементов первого, второго,..., n-го столбца. Например, если

то

Иногда термин "Ф. о." применяется для обозначения якобиана.

Матрица Якоби

Матрица Яко́би отображения \mathbf{u}\colon\R^n\to\R^m в точке x\in \R^n описывает главную линейную часть произвольного отображения \mathbf{u} в точке x.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Матрица_Якоби

Википедия

Якобиан

Якобиа́н (определитель Яко́би, функциональный определитель) — определённое обобщение производной функции одной переменной на случай отображений из евклидова пространства в себя.

Якобиан выражается как определитель матрицы Якоби — матрицы, составленной из частных производных отображения.

Якобиан отображения $f$ в точке $x$ обычно обозначается $\mathop {\rm {Jac}} _{x}f$ , иногда также следующим образом:

{\frac {D(f_{1},\dots ,f_{n})}{D(x_{1},\dots ,x_{n})}}

,или

{\frac {\partial (f_{1},\dots ,f_{n})}{\partial (x_{1},\dots ,x_{n})}}

Также якобианом иногда (по-русски такое употребление термина не вполне принято) называют саму матрицу Якоби, а не её определитель. По-английски и в некоторых других языках термин якобиан считается равно приложимым к матрице Якоби и её определителю.

Введён Якоби (1833, 1841).

https://ru.wikipedia.org/wiki/Якобиан